1.无约束优化方法分为哪两类

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2.各类无约束优化方法的优缺点

无约束问题是数值优化的基础问题，许多带约束优化的求解也是基于无约束优化，可以说是数值优化中最核心、最具代表性的内容更具体来说，我们首先面对的是无约束的连续的光滑的数值优google 搜索留痕化问题，连续是相对整数优化来说，优化变量位于实数空间，光滑性简单来说便是要求目标函数的二阶梯度，也就是黑塞矩阵具有连续性，我们所要求解的为该问题的。

3.无约束优化问题的优化方法有哪些

局部最优解数学形式无约束优化的数学表达为：minxf(x)\min_x f(x)其中 xx 为n维实数向量， f:Rn→Rf:\mathbb{R^n}\rightarrow\mathbb{R} 为光滑目标函数。

4.无约束优化问题的优化方法

在这里我们约定一下数学标记：梯度，又叫导数： ∇f(x)\nabla f(x) 为 ff 在 xx 处的梯度，不引起歧义时也可以简写 ∇f\nabla f ，更具体时也可以写作 ∂google 搜索留痕f∂x\frac{\partial f}{\partial x}

5.无约束优化方法的基本思想

，后面这种形式主要用于对部分变量求导黑塞矩阵，又叫二阶梯度、二阶导数： ∇2f(x)\nabla^2f(x) 为 ff 在 xx 处的黑塞矩阵，可简写为 ∇2f\nabla^2f ，对具体单个变量时，可写作

6.几个典型无约束优化问题

∂2f∂xi∂xj\frac{\partial^2f}{\partial x_i \partial x_j}泰勒定理数值优化中最最基础、最最重要的一个定理——泰勒定理，它很好的为我们展现了目标函数在某一点处的性质，所以首先需要对泰勒定理有清楚的认识。

7.无约束优化问题的数值计google 搜索留痕算方法

如果 f:Rn→Rf:\mathbb{R^n}\rightarrow\mathbb{R} 是连续可微函数，对于 p∈Rnp\in \mathbb{R^n} 则有：f(x+p)=f(x)+∇f(x+tp)

8.无约束优化方法程序考核题

Tp,t∈(0,1)f(x+p)=f(x)+\nabla f(x+tp)^T p,\quad t\in (0,1)更进一步，如果 ff 为二阶连续可微，则有：∇f(x+p)=∇f(x)+∫01∇2f(x

9.无约束优化例题

+tp)pdt\nabla f(x+p)=\nabla f(x) + \int_{0}^1\nabla^2 f(x+tp)p dtf(x+p)=google 搜索留痕f(x)+∇f(x)Tp+12pT∇2f(x+tp)p,t

10.无约束优化问题的求解方法

∈(0,1)f(x+p)=f(x)+\nabla f(x)^T p+\frac{1}{2} p^T\nabla^2f(x+tp)p, \quad t\in (0,1)可以简单理解为我们可以用 ff 的一阶和二阶信息对

ff 进行代换，后面会多次用到这种代换解的必要和充分条件之前一章简单说过，所要求解的为目标函数的局部最优解，通常用梯度为0来判断是否为局部最优解（注意局部最大点和鞍点）这里明确给出局部最优解的必要条件和充分条件，比较容易理解，此处的证明则略过。

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一阶必要条件如果 x∗x^*为局部极小点，并且ff在x∗x^*的开邻域内连续可微，则有∇f(x∗)=0\nabla f(x^*)=0二阶必要条件如果 x∗x^*为局部极小点，并且∇2f\nabla^2f

在xx的开邻域内连续，则有∇f(x∗)=0\nabla f(x^*)=0 并且 ∇2f(x∗)\nabla^2 f(x^*)半正定二阶充分条件如果 ∇2f\nabla^2 f 在 x∗x^*的开邻域内连续，并且有

∇f(x∗)=0\nabla f(x^*)=0 和google 搜索留痕 ∇2f(x∗)\nabla^2 f(x^*)正定，则x∗x^* 为 ff 的严格局部极小点需要注意的是以上并没有给出充分必要条件算法总览根据上一章的概述，大部分优化算法都是通过迭代的方法，从给定的初始 。

x0x_0 求解一系列 {xi}i=1k\{x_i\}_{i=1}^k逐渐逼近最优解，其中的区别在于如何根据xkx_{k} 推断 xk+1x_{k+1} ，对于无约束问题来说也是如此无约束优化算法基本可以概括为两类：线搜索方法和信赖域方法。

如果仔细推导两类方法，则会发现虽然是走了不同的路线，但它们的核心还是相通的，都是利用目标函数的一阶和二阶信息线搜索算法在第k次迭代中，线搜索算法首先确定从google 搜索留痕 xkx_k 向哪个方向 pkp_k 移动，然后再确定移动多少距离

α\alpha，即在沿着 pkp_k 方向的一维空间中搜索下面的最优解：0}f(x_k + \alpha p_k)">minα>0f(xk+αpk)\min_{\alpha>0}f(x_k + \alpha p_k)

想要精确的求解上式的最优解也并非是件容易的事情，而且通常我们也不需要精确求解，我们所追求的是求解一系列 {xi}i=1k\{x_i\}_{i=1}^k逐渐逼近最优解，只需要xk+1x_{k+1} 相对

xkx_k 能有一定程度的进步便心满意足了，因此会有不同的策略来决定如果取舍步长 α\alpha 信赖域算法对于信赖域google 搜索留痕算法，在第k次迭代时，首先构建目标函数的近似函数 mkm_k ，使得 mkm_k 和

ff 在 xkx_k 处有相似的性质，通常可以采用二次函数来近似：mk(xk+p)=fk+pT∇fk+12pTBkpm_k(x_k+p)=f_k+p^T\nabla f_k + \frac{1}{2}p^T B_k p

其形式很像泰勒定理，可以思考下其中 BkB_k 是黑塞矩阵或者其近似 mkm_k 相对来说会有更简单的形式，求解 mkm_k 的最优解远比原始目标函数容易（二次函数可以直接给出解析解），以此可以假借求解 。

mkm_k 来求解原始问题然后信赖域的策略是在以 xkx_k 为中心、半径为 Δ\Deltagoogle 搜索留痕 的高维球内(也会有其他形状区域，但不常见)寻找 mkm_k 的最优解：minpmk(xk+p),||p||2

≤Δ\min_p m_k(x_k + p), \quad ||p||_2\leq \Delta如果 xk+px_k+p 使得目标函数 ff 充分下降，则用 xk+px_k+p 来作为下一个 xk+1x_{k+1}

，否则认为所选区域过大，对半径进行收缩并重新寻找那么我们现在便面临着两个重要问题：对于线搜索算法，如何确定搜索方向 pkp_k ；对于信赖域算法，如何构建近似黑塞矩阵 BkB_k 这也是接下来的方向

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